ఈ కథనం ఏమిటో అన్వేషించబోతోంది ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం మాతృక మరియు వాటిని ఉపయోగించి MATLABలో ఎలా కనుగొనాలి orth() ఫంక్షన్.
మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ఆర్థోనార్మల్ బేసిస్ ఏమిటి
లీనియర్ ఆల్జీబ్రాలో, ది ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం వెక్టార్ స్పేస్ V యొక్క పరిమిత పరిమాణం కలిగి ఉంటుంది ఆర్థోనార్మల్ వెక్టర్స్ ఎక్కడ ఆర్థోనార్మల్ వెక్టర్స్ ఒకదానికొకటి ఆర్తోగోనల్‌గా ఉండే యూనిట్ వెక్టర్స్ అంటే వాటి డాట్ ఉత్పత్తి సున్నా.
రెండు-యూనిట్ వెక్టర్స్ x మరియు y లను పరిగణించండి, ఒకవేళ అవి ఒకదానికొకటి ఆర్తోగోనల్‌గా ఉంటాయి “x.y=0” . ఈ రెండు వెక్టర్స్ అని కూడా అంటారు ఆర్థోనార్మల్ వెక్టర్స్ .
మనం ఆర్థోనార్మల్ బేసిస్‌ను ఎందుకు లెక్కించాలి?
ఒక ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం వెక్టర్ యొక్క ప్రొజెక్షన్‌ను మరొక వెక్టర్‌పై కనుగొనడంలో లేదా రెండు వెక్టర్‌ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడంలో ఉపయోగపడుతుంది. మనం కూడా ఉపయోగించవచ్చు ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం మా అనుకరణలలో రౌండ్-ఆఫ్ లోపాన్ని తగ్గించడానికి మరియు దీనికి ఏకైక కారణం ఆర్థోనార్మల్ ప్రాతిపదికన ఉన్న వెక్టర్స్ ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా ఉండటమే, అందువల్ల ఒక వెక్టర్‌లోని లోపం ఇతర వెక్టర్‌లకు వ్యాపించదు. ఇంకా, మన ఆధారం ఆర్థోనార్మల్‌గా ఉంటే కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం మరియు లీనియర్ ట్రాన్స్‌ఫర్మేషన్ చేయడం చాలా సులభం.
MATLABలో మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ఆర్థోనార్మల్ బేసిస్‌ను ఎలా కనుగొనాలి?
MATLABలో, మనం కనుగొనవచ్చు ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం అంతర్నిర్మిత ఉపయోగించి orth() నిర్ణయించడానికి బాధ్యత వహించే ఫంక్షన్ ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం ఇచ్చిన మాతృక యొక్క. ఈ ఫంక్షన్ మ్యాట్రిక్స్‌ను తప్పనిసరి పారామీటర్‌గా అంగీకరిస్తుంది మరియు మ్యాట్రిక్స్‌ను అవుట్‌పుట్‌గా అందిస్తుంది ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం ఇచ్చిన ఇన్‌పుట్ మాతృకలో.
వాక్యనిర్మాణం
ది orth() ఫంక్షన్‌ను MATLABలో కింది వాక్యనిర్మాణాల ద్వారా అమలు చేయవచ్చు:
Q = orth ( A, టోల్ )
ఇక్కడ,
- ఫంక్షన్ Q = orth(A) నిర్ణయించడానికి బాధ్యత వహిస్తుంది ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం అవుట్‌పుట్ మ్యాట్రిక్స్ Q యొక్క నిలువు వరుసలు సూచించే A పరిధి కోసం ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం మాతృక A మరియు అవి మాతృక A పరిధిని స్పామ్ చేస్తాయి. అలాగే, A యొక్క ర్యాంక్ Q నిలువు వరుసల గణనకు సమానం.
- ఫంక్షన్ Q = orth(A,tol) నిర్ణయించడానికి బాధ్యత వహిస్తుంది ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం సహనాన్ని పేర్కొనే A పరిధి కోసం. ఇన్‌పుట్ మ్యాట్రిక్స్ A యొక్క ఏకవచన విలువలు, సహనం కంటే తక్కువగా ఉంటాయి, Q యొక్క నిలువు వరుసల సంఖ్యను ప్రభావితం చేయడం ద్వారా సున్నాగా పరిగణించబడుతుంది.
ఉదాహరణ 1: MATLABలో పూర్తి ర్యాంక్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ఆర్థోనార్మల్ బేసిస్‌ను ఎలా కనుగొనాలి?
ఈ MATLAB కోడ్ నిర్ణయిస్తుంది ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం ఇచ్చిన స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ A యొక్క పరిమాణం n=3ని ఉపయోగించి orth() ఫంక్షన్. ఈ కోడ్ మాతృక A యొక్క ర్యాంక్‌ను కూడా ఉపయోగిస్తుంది ర్యాంక్ () ఇన్‌పుట్ మ్యాట్రిక్స్ పూర్తి ర్యాంక్‌లో ఉందని ధృవీకరించడానికి ఫంక్షన్.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = ర్యాంక్ ( ఎ )
Q = orth ( ఎ )
ఉదాహరణ 2: MATLABలో ర్యాంక్ లోపం ఉన్న మాతృక యొక్క ఆర్థోనార్మల్ బేసిస్‌ను ఎలా గణించాలి?
ఈ ఉదాహరణలో, మేము ఉపయోగిస్తాము orth() కనుగొనడానికి ఫంక్షన్ ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం ఇచ్చిన ర్యాంక్-లోపం మాతృక A. మాతృక A ర్యాంక్ లోపం ఎందుకంటే ర్యాంక్(K)<పరిమాణం(A) .
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 0 0 ] ;r = ర్యాంక్ ( ఎ )
Q = orth ( ఎ )
ఉదాహరణ 3: MATLABలో టాలరెన్స్‌ని పేర్కొనడం ద్వారా పూర్తి ర్యాంక్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ఆర్థోనార్మల్ బేసిస్‌ను ఎలా కనుగొనాలి?
ఇవ్వబడిన ఉదాహరణ గణిస్తుంది ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం ఇచ్చిన పూర్తి-ర్యాంక్ స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ A పరిమాణం కలిగి ఉంటుంది n=3 ఉపయోగించి orth() డిఫాల్ట్ టాలరెన్స్‌తో పని చేస్తుంది. A అనేది పూర్తి ర్యాంక్ మాతృక కాబట్టి, A మరియు Q పరిమాణం (ఆర్తోగోనల్ ప్రాతిపదిక) అదే, ఈ సందర్భంలో 3×3. ఉదాహరణ తరువాత గణిస్తుంది ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం 0.5 కంటే తక్కువ ఉన్న A విలువలను ఏక విలువలుగా పరిగణించడానికి సహనం 0.5 విలువను పేర్కొనడం ద్వారా A యొక్క A. A లో మూడు ఏకవచన విలువలు ఉన్నాయి, కాబట్టి Aకి రెండు ఆర్థోనార్మల్ కాలమ్ వెక్టర్స్ ఉన్నాయి Qtol మాతృక.
A = రాండ్ ( 3 ) ;r = ర్యాంక్ ( ఎ )
Q = orth ( ఎ )
Q_tol = orth ( A, 0.5 )
ముగింపు
కనుగొనడం ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం వెక్టర్ స్పేస్ అనేది లీనియర్ ఆల్జీబ్రా యొక్క ముఖ్యమైన భావన, ఇది సంక్లిష్టమైన గణిత సమస్య. అయినప్పటికీ, MATLAB అంతర్నిర్మితాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా దీనిని సులభంగా మరియు సమర్ధవంతంగా పరిష్కరించవచ్చు orth() ఫంక్షన్. ఈ వ్యాసం వివిధ వాక్యనిర్మాణాలు మరియు ఉదాహరణలను ఉపయోగించి ఈ ఫంక్షన్ యొక్క అమలును అందించింది.