అధ్యాయం 2: బూలియన్ ఆల్జీబ్రా మరియు దాని సంబంధిత కంప్యూటర్ భాగాలు

అధ్యాయం 2: బూలియన్ ఆల్జీబ్రా మరియు దాని సంబంధిత కంప్యూటర్ భాగాలు

2.1 ప్రాథమిక బూలియన్ ఆపరేటర్లు

నేను (రచయిత) పొడవుగా ఉన్నానని మరియు మీరు (పాఠకుడు) పొడవుగా ఉన్నారని అనుకోండి. మేమిద్దరం పొడుగ్గా ఉన్నారా అని ఎవరైనా మిమ్మల్ని అడిగితే, మీరు “అవును” (నిజం) అని చెబుతారు. మేమిద్దరం పొట్టిగా ఉన్నారా అని అతను అడిగితే, మీరు “లేదు” (తప్పుడు) అని చెబుతారు. మీరు పొట్టిగా ఉండి, నేను పొడుగ్గా ఉంటే, మీరు లేదా నేను పొడవుగా ఉన్నారా అని అతను మిమ్మల్ని అడిగితే, మీ సమాధానం “అవును” (నిజం) అని ఉంటుంది. నువ్వూ, నేనూ ఇద్దరూ పొడుగ్గా ఉన్నారా అని అడిగితే మీ దగ్గర సమాధానం ఉండదు. చివరి ప్రశ్న అడగకూడదని లేదా ప్రశ్నకు సమాధానం లేదని మీరు చెప్పవచ్చు. సరే, ఈ రోజు, కొన్ని పరిస్థితులలో, ప్రశ్న అడగబడాలని మీరు (పాఠకులు) తెలుసుకోవాలని నేను కోరుకుంటున్నాను.

జీవశాస్త్రంలో, ఒక వ్యక్తి పొడవుగా లేదా పొట్టిగా ఉంటాడు. ఇది 'పర్యావరణ' పరిస్థితులు వ్యక్తిని మీడియం ఎత్తు కలిగి ఉంటాయి. ఒక శాస్త్రవేత్త, జార్జ్ బూల్, ఈ రకమైన ప్రశ్నలకు సమాధానాలు లేదా నియమాల సమితిని నిర్వచించారు. ఆన్‌లైన్ కెరీర్ కోర్సు (చాప్టర్)లోని ఈ విభాగంలో మేము ఈ నియమాలను నేర్చుకుంటాము. ఈ నియమాలు నేడు కంప్యూటింగ్, ప్రోగ్రామింగ్, ఎలక్ట్రానిక్స్ మరియు టెలికమ్యూనికేషన్స్‌లో ఉపయోగించబడుతున్నాయి. నిజానికి, ఈ నియమాలు లేకుండా, ఈరోజు సర్వసాధారణంగా ఉన్నందున మీకు కంప్యూటర్ ఉండదు; ఈరోజు సర్వసాధారణమైనందున మీకు ప్రోగ్రామింగ్ కూడా ఉండదు.

నిజమా లేక అబధ్ధమా
ఒక సాధారణ మానవ భాషా ప్రకటన దానికదే నిజం లేదా తప్పు. 'నేను పొడుగ్గా ఉన్నాను' అని నేను చెబితే, అది నిజం లేదా అబద్ధం. 'నువ్వు పొడుగ్గా ఉన్నావు' అని నేను చెబితే, అది నిజం లేదా అబద్ధం. నేను పొడవుగా ఉండి, మీరు పొట్టిగా ఉన్నట్లయితే, మీరు మరియు నేను ఇద్దరూ పొడవుగా ఉన్నారా అనే ప్రశ్న అడిగినట్లయితే, బూలియన్ లాజిక్‌లో, తప్పక నిజమా లేదా తప్పు అనే సమాధానం ఇవ్వాలి. ఈ రెండింటిలో ఏది ఇవ్వాలి? ఈ ప్రశ్నకు బూల్ నిజంగా సమాధానం చెప్పలేదు. అతను కేవలం మనం అనుసరించాల్సిన నియమాల సమితిని రూపొందించాడు. శుభవార్త ఏమిటంటే, మీరు ఈ నియమాలను సరైన సందర్భంలో అనుసరించినప్పుడు, మీకు ఎటువంటి అస్పష్టత ఉండదు. ఈ నియమాలకు ధన్యవాదాలు, ఈ రోజు మనకు కంప్యూటర్లు మరియు ప్రోగ్రామింగ్ ఉన్నాయి. నియమాలు ఇప్పుడు మీకు అందించబడ్డాయి. నియమాలు నిజంగా వివరించబడవు; మీరు వాటిని అంగీకరించండి. నియమాలు మూడు శీర్షికల క్రింద ఉన్నాయి: AND, OR, మరియు NOT.

మరియు
మీరు మరియు నేను ఇద్దరూ పొడవుగా ఉన్నారా అనే ప్రశ్న అడగవచ్చు. నా ఎత్తు మరియు మీ ఎత్తు ఆపై నియమాల AND సెట్ ద్వారా కలపబడతాయి. ఇవి అనుసరించాల్సిన మరియు నియమాలు:

తప్పు మరియు తప్పు = తప్పు
తప్పు మరియు నిజం = తప్పు
నిజం మరియు తప్పు = తప్పు
నిజం మరియు నిజం = నిజం

ఇప్పుడు, పొడువు నిజమని మరియు పొట్టిగా అబద్ధమని చెప్పండి. దీని అర్థం నేను పొట్టిగా మరియు మీరు పొట్టిగా ఉంటే, మీరు మరియు నేను పొట్టిగా ఉన్నాము. నేను పొట్టిగా మరియు మీరు పొడవుగా ఉంటే, మీరు మరియు నేను పొట్టిగా ఉంటాము; అది మీరు అంగీకరించవలసిన బూలియన్ సమాధానం. నేను పొడవుగా మరియు మీరు పొట్టిగా ఉంటే, మీరు మరియు నేను ఇద్దరూ పొట్టిగా ఉంటారు. నేను పొడవుగా మరియు మీరు పొడవుగా ఉంటే, మీరు మరియు నేను పొడవుగా ఉన్నాము. ఇవన్నీ మీరు (పాఠకులు) అంగీకరించాల్సిన మరియు బూలియన్ నియమాలు.

లేదా
మీరు లేదా నేను పొడవుగా ఉంటే ప్రశ్న అడగవచ్చు. నా ఎత్తు మరియు మీ ఎత్తు తర్వాత OR నియమాల ద్వారా కలపబడతాయి. ఇవి అనుసరించాల్సిన OR నియమాలు:

తప్పు OR తప్పు = తప్పు
తప్పు లేదా నిజం = నిజం
నిజం OR తప్పు = నిజం
true OR true = నిజం

మళ్ళీ, పొడవైనది నిజం మరియు పొట్టిది అబద్ధం. దీనర్థం నేను పొట్టిగా ఉంటే లేదా మీరు పొట్టిగా ఉంటే, మీరు లేదా నేను పొట్టి అని. నేను పొట్టిగా లేదా మీరు పొడవుగా ఉంటే, మీరు లేదా నేను పొడవుగా ఉన్నాను. నేను పొడవుగా ఉంటే లేదా మీరు పొట్టిగా ఉంటే, మీరు లేదా నేను పొడవుగా ఉన్నాను. నేను పొడవుగా ఉంటే లేదా మీరు పొడవుగా ఉంటే, మీరు లేదా నేను పొడవుగా ఉంటాను. ఇవన్నీ మీరు అంగీకరించాల్సిన బూలియన్ నియమాలు.

కాదు
ఇప్పుడు, బూలియన్ లాజిక్‌లో, కేవలం రెండు రాష్ట్రాలు (సాధ్యమైన సమాధానాలు) మాత్రమే ఉన్నాయి. అంటే, మీరు పొడవుగా లేకుంటే, మీరు పొట్టిగా ఉంటారు. మీరు పొట్టిగా లేకుంటే, మీరు పొడవుగా ఉంటారు; ఇంకేమి లేదు. ఇవి అనుసరించాల్సిన నియమాలు కాదు:

తప్పు కాదు = నిజం
నిజం కాదు = తప్పు

మీరు పొడిగించగల (లాగడానికి) స్ట్రింగ్ (లేదా స్ప్రింగ్) ఉందని భావించండి. స్ట్రింగ్ దాని సహజ స్థితిలో ఉన్నప్పుడు, 'చిన్నది కాదు' అని నేను చెబితే, మీరు దానిని పొడిగిస్తారు; అని వివరణ. స్ట్రింగ్ పొడిగించబడినప్పుడు, నేను 'దీర్ఘకాలం కాదు' అని చెబితే, మీరు దానిని కుదించడానికి అనుమతిస్తారు; అని వివరణ.

మీరు వివిధ వర్గాలలో ఇచ్చిన అన్ని నియమాలను గుర్తుంచుకోవాలి.

రెండు కంటే ఎక్కువ ఆపరాండ్‌లు
కంప్యూటర్ భాషలో, AND, OR మరియు NOT ప్రతి ఒక్కటి ఆపరేటర్ అని పిలువబడతాయి. NOT ఆపరేటర్ కోసం, మీకు సమాధానం ఇవ్వడానికి ఒక ఆపరేటర్ (ఆపరేటర్‌కు విలువ) మాత్రమే అవసరం. AND లేదా OR ఆపరేటర్‌ల కోసం, మీరు రెండు కంటే ఎక్కువ ఆపరాండ్‌లను కలిగి ఉండవచ్చు. మునుపటి కేసులు AND మరియు OR కోసం రెండు ఆపరాండ్‌లను చూపుతాయి. మీరు ఈ క్రింది విధంగా మరియు కోసం మూడు ఆపరాండ్‌లను కలిగి ఉండవచ్చు:

తప్పు మరియు తప్పుడు మరియు తప్పు = తప్పు
తప్పు మరియు తప్పు మరియు నిజం = తప్పు

ఇవి రెండు పంక్తులు; ప్రతి ఒక్కరికి ఇద్దరు AND ఆపరేటర్లు ఉన్నారు. ఒపెరాండ్‌లు మూడు ఉన్నప్పుడు వాస్తవానికి తొమ్మిది పంక్తులు ఉంటాయి. AND ఆపరేటర్‌తో, చివరి పంక్తి (తొమ్మిదవ పంక్తి) మాత్రమే సత్యానికి సమానం; మునుపటి పంక్తులు అన్నీ తప్పు. AND కోసం రెండు ఆపరాండ్‌లతో, చివరి పంక్తి మాత్రమే ఇప్పటికీ నిజం అని గమనించండి; మునుపటి మూడు పంక్తులు తప్పు. ఒపెరాండ్‌లు నాలుగు అయినప్పుడు, 16 పంక్తులు ఉంటాయి మరియు AND ఆపరేటర్‌కు చివరి పంక్తి మాత్రమే సరైనది.

AND కోసం నమూనా మరియు OR కోసం నమూనా భిన్నంగా ఉంటాయి. ఇద్దరు OR ఆపరేటర్‌లకు మూడు ఆపరేటర్‌లతో, తొమ్మిది లైన్‌లు కూడా ఉన్నాయి మరియు ఈసారి మొదటి లైన్ మాత్రమే తప్పు. రెండవ నుండి తొమ్మిదవ లైన్ వరకు నిజం. OR కోసం రెండు ఆపరాండ్‌లతో, మొదటి పంక్తి మాత్రమే ఇప్పటికీ నిజం అని గమనించండి; మిగిలిన మూడు లైన్లు తప్పు. OR కోసం ఒపెరాండ్‌లు నాలుగు అయినప్పుడు, 16 లైన్లు కూడా ఉంటాయి.

NOT ఆపరేటర్ ఒక ఆపరేటర్‌తో మాత్రమే వ్యవహరిస్తుంది. తప్పు కాదు నిజం మరియు నిజం కాదు అబద్ధం.

2.2 రెండు ఆపరాండ్ ట్రూత్ టేబుల్ మరియు వాటి ఎలక్ట్రానిక్ భాగాలు

గణితంలో బీజగణితం అనే అంశం ఉంది. దానిలోని చిన్న భాగం మునుపటి అధ్యాయంలో కనిపించింది. బూలియన్ ఆల్జీబ్రా అని పిలువబడే ఒక రకమైన బీజగణితం ఉంది. బూలియన్ బీజగణితంలో, నిజమైన అనేది 1 అనే మూలాధారమైన రెండు అంకెతో గుర్తించబడుతుంది మరియు తప్పు అనేది 0 అయిన ఆధార రెండు అంకెల ద్వారా గుర్తించబడుతుంది.

అంతర్గత కంప్యూటర్ యూనిట్ భాగాలు ఎలక్ట్రానిక్ భాగాలు. కంప్యూటర్ సిస్టమ్ యొక్క సిస్టమ్ యూనిట్ డిజిటల్ ఎలక్ట్రానిక్ భాగాలను కలిగి ఉంటుంది. AND ఆపరేషన్ AND గేట్ అని పిలువబడే చిన్న ఎలక్ట్రానిక్ భాగం ద్వారా చేయబడుతుంది. OR ఆపరేషన్ OR గేట్ అని పిలువబడే చిన్న ఎలక్ట్రానిక్ భాగం ద్వారా చేయబడుతుంది. NOT ఆపరేషన్ NOT గేట్ అని పిలువబడే చిన్న ఎలక్ట్రానిక్ భాగం ద్వారా చేయబడుతుంది. ఈ గేట్‌లలో చాలా ఎక్కువ ఇంటిగ్రేటెడ్ సర్క్యూట్ (IC) చిప్‌లో ఉండవచ్చు.

మరియు ట్రూత్ టేబుల్ మరియు దాని గేట్
కింది పట్టిక AND సత్య పట్టిక మరియు దాని AND గేట్ (చిన్న సర్క్యూట్) చిహ్నాన్ని ఇస్తుంది:

AND ట్రూత్ టేబుల్ మరియు దాని గేట్ రెండింటికీ, A అలాగే B రెండు ఇన్‌పుట్ వేరియబుల్స్. Q అనేది అవుట్‌పుట్ వేరియబుల్. A అనేది 1 లేదా 0. B అనేది 1 లేదా 0. Q అనేది 1 లేదా 0. 1 మరియు 0లతో ఉన్న AND సత్య పట్టిక మునుపటి నిజమైన/తప్పు మరియు సత్య లేఅవుట్ (టేబుల్) వలె ఉంటుంది. మరియు సమీకరణం:

ఎ . B = Q

ఇక్కడ డాట్ (.) అంటే AND (బూలియన్). డాట్‌ను AB = Q కలిగి ఉండకుండా విస్మరించవచ్చు అంటే అదే విషయం (AND)

గమనిక: నాలుగు వరుసలలోని A మరియు B కోసం బిట్‌లు, జంటలుగా, 0 (లేదా 00), అంటే 00, 01, 10, 11 నుండి ప్రారంభమయ్యే బేస్ రెండులోని మొదటి నాలుగు సంఖ్యలు.

కింది పట్టిక OR సత్య పట్టిక మరియు దాని OR గేట్ (చిన్న సర్క్యూట్) చిహ్నాన్ని ఇస్తుంది:

OR సత్య పట్టిక మరియు దాని గేట్ రెండింటికీ, A అలాగే B రెండు ఇన్‌పుట్ వేరియబుల్స్. Q అనేది అవుట్‌పుట్ వేరియబుల్. 1 మరియు 0లతో ఉన్న OR సత్య పట్టిక మునుపటి నిజమైన/తప్పు లేదా సత్య లేఅవుట్ (టేబుల్) వలె ఉంటుంది.

OR సమీకరణం:

A + B = Q

ఇక్కడ + అంటే బూలియన్ OR మరియు అదనంగా కాదు. సమీకరణం 'A లేదా B సమాన Q'గా చదవబడుతుంది.

కింది పట్టిక NOT సత్యం పట్టికను మరియు దాని NOT గేట్ (చిన్న సర్క్యూట్) చిహ్నాన్ని ఇస్తుంది:

NOT ట్రూత్ టేబుల్ లేదా NOT గేట్‌లో ఒక ఇన్‌పుట్ మరియు ఒక అవుట్‌పుట్ మాత్రమే ఉన్నాయి. ఇన్‌పుట్ 0 అయినప్పుడు, అవుట్‌పుట్ 1. ఇన్‌పుట్ 1 అయినప్పుడు, అవుట్‌పుట్ 0. NOT గేట్ ఒక రకమైన విలోమం చేస్తుంది. అవుట్‌పుట్ వేరియబుల్ ఇన్‌పుట్ వేరియబుల్ వలె ఉంటుంది, కానీ బార్‌తో (ఓవర్-లైన్డ్) ఉంటుంది. 1లు మరియు 0లతో సత్యం కాని పట్టిక మునుపటి నిజమైన/తప్పు లేదా సత్య లేఅవుట్ (టేబుల్) వలె ఉంటుంది.

NOT సమీకరణం:

A = Q

ఇక్కడ Q = A మరియు A పైన ఉన్న బార్ అంటే పూరకమని అర్థం. 0 యొక్క పూరకము 1 మరియు 1 యొక్క పూరకము 0. NOT గేట్‌ను INVERTING గేట్ అని కూడా అంటారు.

ఇవి డిజిటల్ ఎలక్ట్రానిక్స్‌లో (బూలియన్ ఆల్జీబ్రాతో) ప్రాథమిక (లేదా రూట్) సత్య పట్టికలు మరియు వాటి గేట్లు (చిన్న సర్క్యూట్‌లు). కింది దృష్టాంతంలో ఇవ్వబడిన ఇతర మూడు సత్య పట్టికలు మరియు వాటి ద్వారాలు సౌలభ్యం కోసం మరియు మునుపటి మూడు సత్య పట్టికలపై ఆధారపడి ఉన్నాయి.

AND ట్రూత్ టేబుల్ మరియు గేట్ నుండి తీసుకోబడిన ట్రూత్ టేబుల్ మరియు గేట్ ఉన్నాయి. వాటిని NAND (NOT AND కోసం) సత్య పట్టిక మరియు సంబంధిత NAND గేట్ అంటారు. NAND సత్య పట్టిక మరియు దాని NAND గేట్:

NAND సత్య పట్టికను పొందేందుకు, AND సత్య పట్టిక యొక్క అవుట్‌పుట్‌కి వెళ్లి, ప్రతి అంకెను దాని పూరకంతో భర్తీ చేయండి. 0 యొక్క పూరకము 1 మరియు 1 యొక్క పూరకము 0. NAND గేట్ AND గేట్ వలె ఉంటుంది, కానీ అవుట్‌పుట్ లైన్‌కు ముందు ఒక చిన్న వృత్తం ఉంటుంది. NAND సమీకరణం:

ఎక్కడ అంటే 'A' మరియు 'B' ఫలితం యొక్క పూరకమని అర్థం. బార్ (ఓవర్-లైన్) గేట్‌లో చిన్న సర్కిల్ ద్వారా సూచించబడుతుంది. A మరియు B మధ్య చుక్కను విస్మరించవచ్చని గమనించండి.

OR సత్య పట్టిక మరియు గేట్ నుండి తీసుకోబడిన మరొక సత్య పట్టిక మరియు గేట్ ఉన్నాయి. వాటిని NOR (NOT OR కోసం) సత్య పట్టిక మరియు సంబంధిత NOR గేట్ అంటారు. NOR సత్య పట్టిక మరియు దాని NOR గేట్:

NOR సత్య పట్టికను పొందడానికి, OR సత్య పట్టిక యొక్క అవుట్‌పుట్‌కి వెళ్లి, ప్రతి అంకెను దాని పూరకంతో భర్తీ చేయండి. 0 యొక్క పూరకము 1 మరియు 1 యొక్క పూరకము 0. NOR గేట్ OR గేట్ లాగా ఉంటుంది, కానీ అవుట్‌పుట్ లైన్‌కు ముందు ఒక చిన్న వృత్తం ఉంటుంది. NOR సమీకరణం:

ఎక్కడ అంటే 'A' లేదా 'B' ఫలితం యొక్క పూరకమని అర్థం. బార్ (ఓవర్‌లైన్) గేట్‌లో చిన్న సర్కిల్ ద్వారా సూచించబడుతుంది.

ప్రత్యేకమైన OR (XOR)
OR గేట్ కోసం సత్య పట్టిక:

సాధారణ ఆంగ్లంలో, 1 OR 1 యొక్క చివరి వరుస 1 లేదా 0 ఇవ్వాలా అనేది స్పష్టంగా లేదు. కాబట్టి, బూలియన్ బీజగణితంలో, రెండు రకాల OR సత్య పట్టికలు మరియు రెండు సంబంధిత గేట్లు ఉన్నాయి. సాధారణ ORతో, 1 OR 1 యొక్క చివరి వరుస 1 ఇస్తుంది. OR యొక్క ఇతర రకం ప్రత్యేకమైన-OR (XOR) ఇక్కడ మొదటి మూడు అడ్డు వరుసలు సాధారణ OR (అవుట్‌పుట్‌తో సహా) మొదటి మూడు వరుసల వలె ఉంటాయి. అయితే, నాల్గవ మరియు చివరి వరుసకు, 1 OR 1 0 ఇస్తుంది.

క్రింది పట్టిక XOR సత్య పట్టిక మరియు దాని XOR గేట్ (చిన్న సర్క్యూట్) చిహ్నాన్ని ఇస్తుంది:

XOR సత్య పట్టిక మరియు దాని గేట్ రెండింటికీ, “A” అలాగే “B” రెండు ఇన్‌పుట్ వేరియబుల్స్. “Q” అనేది అవుట్‌పుట్ వేరియబుల్.

XOR సమీకరణం:

A ⊕ B = Q

ఇక్కడ ⊕ అంటే బూలియన్ XOR.

సాధారణ OR అంటే ఒకటి లేదా రెండూ. ప్రత్యేకమైన OR అంటే ఖచ్చితంగా అని అర్థం గాని మరియు రెండూ కాదు.

2.3 బూలియన్ పోస్ట్యులేట్స్

పోస్ట్‌లేట్‌లు అనేవి కొన్ని తీర్మానాల ఆధారంగా అంచనాలు. AND, OR, మరియు NOT సమీకరణాల (ట్రూత్ టేబుల్స్) నుండి రూట్ చేయబడిన పది బూలియన్ పోస్టులేట్‌లు ఉన్నాయి. ఈ సమీకరణాలను విధులు అని కూడా అంటారు. ప్రాథమిక విధులు ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి కాపీ చేయబడతాయి:

ఇవి బూలియన్ బీజగణితంలో ప్రాథమిక విధులు (సమీకరణాలు). కింది ఇతర మూడు (ఫంక్షన్లు) సమీకరణాలు ప్రాథమిక విధులు కావు:

ఇక్కడ చివరి ఫంక్షన్ విచిత్రమైనప్పటికీ, ఇది ప్రాథమిక విధిగా పరిగణించబడదు.

బూలియన్ ప్రతిపాదనలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:

AND ఫంక్షన్ నుండి
1) 0 . 0 = 0
ఇరవై. 1 = 0
3) 1. 0 = 0
4) 1. 1 = 1

OR ఫంక్షన్ నుండి
5) 0 + 0 = 0
6) 0 + 1 = 1
7) 1 + 0 = 1
8) 1 + 1 = 1

నాట్ ఫంక్షన్ నుండి
9) 0 = 1
10) 1 = 0

గమనిక: ఈ పోస్ట్యులేట్‌లు స్వతంత్ర పద్ధతిలో వ్యక్తీకరించబడిన AND, OR, మరియు NOT సత్య పట్టికలలోని పంక్తులు మాత్రమే. పాఠకుడు ఇచ్చిన పోస్టులేట్‌లను గుర్తుంచుకోవాలి.

2.4 బూలియన్ లక్షణాలు

ఆస్తి అనేది ఏదో ఒక లక్షణం లాంటిది. బూలియన్ లక్షణాలు బూలియన్ పోస్టులేట్‌ల నుండి వచ్చిన సమీకరణాలు. ఈ విభాగంలో, లక్షణాలు వాటి ఉత్పన్నాలు లేకుండా ఇవ్వబడతాయి మరియు తర్వాత ఉపయోగించబడతాయి. ఈ క్రింది విధంగా పది శీర్షికల క్రింద సమూహం చేయబడిన లక్షణాలలో ఇరవై ఐదు ఉన్నాయి:

మరియు ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు

ఆస్తి 1:

X ఎక్కడ 1 లేదా 0 కావచ్చు. దీని అర్థం X ఏది అయినా ఫలితం ఎల్లప్పుడూ 0 అవుతుంది.

గమనిక: వేరియబుల్ తప్పనిసరిగా A లేదా B లేదా C లేదా D కాకూడదు. వేరియబుల్ W లేదా X లేదా Y లేదా Z లేదా ఏదైనా ఇతర అక్షరం కావచ్చు.

ఆస్తి 2:

X అనేది 1 లేదా 0 కావచ్చు. ఆస్తి 1 మరియు ప్రాపర్టీ 2 మధ్య వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, రెండు సమీకరణాల సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపున, X మరియు 0 స్థానాలు పరస్పరం మారుతాయని గమనించండి.

ఆస్తి 3:

X అయితే 0, 0. 1 = 0. X అయితే 1, 1. 1 = 1.

ఆస్తి 4:

X అయితే 0, అప్పుడు 1. 0 = 0. X అయితే 1, అప్పుడు 1. 1 = 1. ఆస్తి 3 మరియు ఆస్తి 4 మధ్య వ్యత్యాసం రెండు సమీకరణాల ఎడమ వైపున, స్థానాలు అని గమనించండి X మరియు 1 పరస్పరం మార్చుకోబడ్డాయి.

OR ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు

ఆస్తి 5:

ఇక్కడ X 1 లేదా 0 కావచ్చు. అంటే X అయితే 0, ఫలితం 0. X అయితే 1, ఫలితం 1.

ఆస్తి 6:

X అనేది 1 లేదా 0 కావచ్చు. ప్రాపర్టీ 5 మరియు ప్రాపర్టీ 6 మధ్య వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, రెండు సమీకరణాల ఎడమ వైపున, X మరియు 0 స్థానాలు పరస్పరం మారుతాయని గమనించండి.

ఆస్తి 7:

X 0 అయితే, 0 + 1 = 1. X అయితే 1, అప్పుడు 1 + 1 = 1.

ఆస్తి 8:

X అయితే 0, అప్పుడు 1 + 0 = 1. X అయితే 1, అప్పుడు 1 + 1 = 1. ఆస్తి 7 మరియు ఆస్తి 8 మధ్య వ్యత్యాసం రెండు సమీకరణాల ఎడమ వైపున ఉంటుందని గమనించండి, స్థానాలు X మరియు 1 పరస్పరం మార్చుకోబడ్డాయి.

ఒక వేరియబుల్ దానితో లేదా దాని పూరకంతో కలయికకు సంబంధించిన లక్షణాలు

ఆస్తి 9:

అంటే: X 0 అయితే, 0 . 0 = 0. X అయితే 1, 1 . 1 = 1.

ఆస్తి 10:

అంటే: X అయితే 0, 0. 1 = 0. X అయితే 1, 1. 0 = 0.

వరుస వేరియబుల్స్ కోసం, ఈ లక్షణం అవుతుంది:

ఆస్తి 11:

అంటే: X 0 అయితే, 0 + 0 = 0. I అయితే X 1 అయితే, 1 + 1 = 1 (సాధారణ OR నుండి).

ఆస్తి 12:

అంటే: X 0 అయితే, 0 + 1 = 1. X = 1 అయితే, 1 + 0 = 1.

అంటే: X 0 అయితే, 0 + 1 = 1. X = 1 అయితే, 1 + 0 = 1.

డబుల్ కాంప్లిమెంటేషన్

ఆస్తి 13:

ఎడమ వైపున ఉన్న X 0 అయినప్పుడు, కుడి వైపున ఉన్న X 0 అవుతుంది. కుడి వైపున ఉన్న X 1 అయినప్పుడు, ఎడమ వైపున ఉన్న X 1 అవుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, డబుల్ కాంప్లిమెంట్స్ అసలు విలువను తిరిగి ఇస్తుంది.

పరివర్తన చట్టం

ఆస్తి 14:

దీనర్థం AND ఆపరేటర్ కోసం మొదటి మరియు రెండవ కార్యక్రమాలను పరస్పరం మార్చుకోవడం, సమాన చిహ్నం యొక్క ఎడమ వైపున, పట్టింపు లేదు; ఎడమవైపు మార్పిడి జరిగిన తర్వాత కూడా సమాధానం అదే. ఈ సమీకరణాన్ని చుక్కలతో ఇలా వ్రాయవచ్చు: XY = YX.

ఆస్తి 15:

ఇక్కడ వివరణ మునుపటి ANDలో అదే విధంగా ఉంటుంది, కానీ ఇది OR ఆపరేటర్‌కు సంబంధించినది.

పంపిణీ చట్టం

ఆస్తి 16:

ఇక్కడ మూడు వేరియబుల్స్ ఉన్నాయి: X, Y మరియు Z. ప్రతి వేరియబుల్ 1 లేదా 0 కావచ్చు. సమాన చిహ్నం యొక్క ఎడమ వైపున, బ్రాకెట్‌లు అంటే వాటిలో ఉన్న వాటిని ముందుగా మూల్యాంకనం చేయడం. ఆపై, AND అనేది Xతో ఫలితం. కుడివైపు X మరియు Y కలిసి, లేదా X మరియు Z కలిసి, ఎడమ వైపు వలె ఉంటాయి. AND ల కోసం డాట్ ఆపరేటర్ మొత్తం విస్మరించబడిందని గమనించండి; మరియు చేరిన వేరియబుల్స్ ఇప్పటికీ AND అని అర్థం.

ఆస్తి 17:

ఈ ఆస్తి W యొక్క జోడించిన వేరియబుల్‌తో ఆస్తి 16 యొక్క పొడిగింపు.

అనుబంధ చట్టం

ఆస్తి 18:

బ్రాకెట్లు అంటే ముందుగా బ్రాకెట్లలో ఏముందో విశ్లేషించడం. కాబట్టి, ఎడమ వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణ కోసం, Z తో Y తో మొదట AND చేసి, మరియు X ఫలితంతో AND చేయబడితే, ఎడమ వైపున ఆ తుది ఫలితం కుడి వైపున ఉన్న తుది ఫలితం వలె ఉంటుంది. - Z తో ఫలితాన్ని AND చేసే ముందు Y తో X AND చెయ్యబడిన చోట. ఈక్వేషన్‌లో చుక్కలు విస్మరించబడిందని గమనించండి.

ఆస్తి 19:

ఈ ఆస్తి ఆస్తి 18 వలె వివరించబడింది, కానీ AND ఆపరేటర్‌కు బదులుగా OR ఆపరేటర్‌ని నియమించారు. OR ఆపరేటర్ + సరళత కోసం బూలియన్ వ్యక్తీకరణ నుండి ఎప్పటికీ తొలగించబడదు. మరోవైపు, AND ఆపరేటర్‌ని విస్మరించవచ్చు మరియు రెండు వేరియబుల్స్‌ను కలపవచ్చు.

శోషణం

ఆస్తి 20:

ఈ సమీకరణంతో, Y ఏమైనప్పటికీ, కుడి వైపు ఎల్లప్పుడూ X (శోషించబడినది) ఉంటుంది.

ఆస్తి 21:

అలాగే, ఈ సమీకరణంతో, Y ఏమైనప్పటికీ, కుడి వైపు ఎల్లప్పుడూ X (శోషించబడినది) ఉంటుంది. ఈ ఆస్తి 21 ఆస్తి 20తో సమానంగా ఉంటుంది:

ఇక్కడ, మేము పంపిణీ చట్టం మరియు X.X = X ఆస్తి 9ని ఉపయోగిస్తాము.

ఒక గుర్తింపు

ఆస్తి 22:

దీనర్థం X + Y వ్యక్తీకరణకు, Y ముందు X యొక్క పూరక వ్యక్తీకరణను మార్చదు.

ఆస్తి 23:

దీనర్థం XY వ్యక్తీకరణ కోసం, బ్రాకెట్‌లలో Y తో X ORed యొక్క పూరకము, ముందుగా చేయబడుతుంది, XY వ్యక్తీకరణను మార్చదు.

డెమోర్గాన్ యొక్క చట్టం

ఆస్తి 24:

దీనర్థం, ఒక NOR (NOT OR) గేట్ రెండు ఇన్‌పుట్‌లను AND చేసే ముందు వాటిని గమనించడం వంటి ఫలితాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ఆస్తి 25:

దీని అర్థం NAND (NOT AND) గేట్‌కు ORing ముందు రెండు ఇన్‌పుట్‌లను గమనించినంత ఫలితం ఉంటుంది.

అందించిన దృష్టాంతాలు 25 లక్షణాలు. ఎడమ వైపున ఉన్న ప్రతి వ్యక్తీకరణలో, కుడి వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణ (లేదా ఫలితం) పొందబడిందో లేదో చూడటానికి, 1 మరియు 0 యొక్క అన్ని విభిన్న సాధ్యం విలువలను భర్తీ చేయడం ద్వారా వాటిని నిరూపించవచ్చు. ఆధారాలు పాఠకులకు కసరత్తుగా మిగిలిపోయాయి.

2.5 సమ్మేళనం వ్యక్తీకరణల సరళీకరణ

కింది రెండు విధులు ఒకే విధంగా ఉంటాయి:

Z అనేది అవుట్‌పుట్ మరియు X, W మరియు Y ఇన్‌పుట్‌లు. మొదటిదానికి NAND గేట్, ఒక OR గేట్, ఒక AND గేట్, రెండు NOT గేట్లు, ఒక OR గేట్ మరియు NOR గేట్ అవసరం. రెండవదానికి కేవలం రెండు మరియు గేట్లు అవసరం. మొదటిది సమ్మేళనం వ్యక్తీకరణతో కూడిన సమీకరణం, కుడి వైపున, ఇది రెండవ సమీకరణం కోసం ఒకే కుడి-చేతి వ్యక్తీకరణ పదానికి సరళీకృతం చేయబడింది (తగ్గించబడింది).

సరళీకరణ లేదా తగ్గింపు ఒక సర్క్యూట్ వలె అదే ఫంక్షన్‌ను అమలు చేయడానికి తక్కువ సంఖ్యలో గేట్‌లకు దారితీస్తుంది. ఇటువంటి చిన్న సర్క్యూట్ ఇంటిగ్రేటెడ్ సర్క్యూట్ (IC)లో భాగం కావచ్చు లేదా కంప్యూటర్ మదర్‌బోర్డు ఉపరితలంపై ఒక స్వతంత్ర సర్క్యూట్ కావచ్చు.

డిజైన్ ప్రక్రియలో ఒక ఫంక్షన్ (సమీకరణం) వచ్చినప్పుడు, గేట్ల సంఖ్యను తగ్గించడానికి మరియు చౌకైన సర్క్యూట్‌తో ముగించడానికి సరళీకరణ జరగాలి. సరళీకరణకు మునుపటి ఇరవై ఐదు బూలియన్ ప్రాపర్టీలలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉపాధి అవసరం.

ఉదాహరణ 2.51:

సమీకరణాన్ని తగ్గించండి:

గమనిక: ఒకదానికొకటి పక్కన ఉన్న రెండు కుండలీకరణాలు అంటే కుండలీకరణాలు ANDed అని అర్థం (వాటి మధ్య చుక్క ఐచ్ఛికంగా వ్రాయబడలేదు).

పరిష్కారం:
పరిష్కారాల కోసం, ప్రతి దశకు జస్టిఫికేషన్ (కారణం) దశ యొక్క కుడి వైపున, బ్రాకెట్లలో ఇవ్వబడుతుంది. పాఠకుడు ప్రతి దశను మరియు దాని సమర్థనను చదవాలి. అతను/ఆమె ఫంక్షన్ తగ్గింపు దశలను చదివేటప్పుడు రీడర్ మునుపటి లక్షణాలను కూడా సూచించాలి.

ఉదాహరణ 2.52:

సరళీకృతం చేయండి:

2.6 ఉత్పత్తుల కనీస మొత్తం

కింది రెండు విధులు ఒకే విధంగా ఉంటాయి:

రెండు సమీకరణాల యొక్క కుడి-చేతి వ్యక్తీకరణలు సమ్ ఆఫ్ ప్రొడక్ట్స్ (SP) రూపంలో చెప్పబడ్డాయి. ఎక్స్‌ప్రెస్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌కు కుండలీకరణాలు లేకపోతే ఉత్పత్తి రూపంలో ఉంటుంది. మొదటి ఫంక్షన్ (సమీకరణం) రెండవ ఫంక్షన్ కంటే ఎక్కువ గేట్లు అవసరం అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

రెండవ ఫంక్షన్‌ను పొందడానికి మొదటి కుడి-చేతి వ్యక్తీకరణను ఇప్పటికీ తగ్గించవచ్చు. రెండవ కుడి-వైపు వ్యక్తీకరణ మరింత సరళీకృతం చేయబడదు మరియు ఇప్పటికీ ఉత్పత్తుల మొత్తం (నిబంధనల 'అదనం') వలె వ్యక్తీకరించబడుతుంది. రెండవ కుడి-వైపు వ్యక్తీకరణ నిజంగా మరింత సరళీకృతం చేయబడదు. కాబట్టి, ఇది కనీస ఉత్పత్తుల (MSP) రూపంలో చెప్పబడింది.

ఉదాహరణ 2.61:
కింది ఫంక్షన్‌ను ముందుగా ఉత్పత్తుల మొత్తం ఫారమ్‌కు మరియు తర్వాత ఉత్పత్తుల యొక్క కనీస మొత్తం ఫారమ్‌కు తీసుకురండి.

పరిష్కారం:
ఇలాంటి సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ఈ పరిష్కారంలో వివరించిన విధంగా మునుపటి ఇరవై-ఐదు లక్షణాలలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉపయోగించాలి:

2.6 ఉత్పత్తుల కనీస మొత్తం

కింది రెండు విధులు ఒకే విధంగా ఉంటాయి:

రెండు సమీకరణాల యొక్క కుడి-చేతి వ్యక్తీకరణలు సమ్ ఆఫ్ ప్రొడక్ట్స్ (SP) రూపంలో చెప్పబడ్డాయి. ఎక్స్‌ప్రెస్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌కు కుండలీకరణాలు లేకపోతే ఉత్పత్తి రూపంలో ఉంటుంది. మొదటి ఫంక్షన్ (సమీకరణం) రెండవ ఫంక్షన్ కంటే ఎక్కువ గేట్లు అవసరం అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

రెండవ ఫంక్షన్‌ను పొందడానికి మొదటి కుడి-చేతి వ్యక్తీకరణను ఇప్పటికీ తగ్గించవచ్చు. రెండవ కుడి-వైపు వ్యక్తీకరణ మరింత సరళీకృతం చేయబడదు మరియు ఇప్పటికీ ఉత్పత్తుల మొత్తం (నిబంధనల 'అదనం') వలె వ్యక్తీకరించబడుతుంది. రెండవ కుడి-వైపు వ్యక్తీకరణ నిజంగా మరింత సరళీకృతం చేయబడదు. కాబట్టి, ఇది కనీస ఉత్పత్తుల (MSP) రూపంలో చెప్పబడింది.

ఉదాహరణ 2.61:
కింది ఫంక్షన్‌ను ముందుగా ఉత్పత్తుల మొత్తం ఫారమ్‌కు మరియు తర్వాత ఉత్పత్తుల యొక్క కనీస మొత్తం ఫారమ్‌కు తీసుకురండి.

పరిష్కారం:
ఇలాంటి సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ఈ పరిష్కారంలో వివరించిన విధంగా మునుపటి ఇరవై-ఐదు లక్షణాలలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉపయోగించాలి:

ఈ చివరి వ్యక్తీకరణ సమ్ ఆఫ్ ప్రొడక్ట్స్ ఫారమ్ (SP)లో ఉంది, కానీ కనిష్ట ఉత్పత్తుల ఫారమ్ (MSP)లో కాదు. ప్రశ్న యొక్క మొదటి భాగం సమాధానం ఇవ్వబడింది. రెండవ భాగానికి పరిష్కారం క్రింది విధంగా ఉంది:

ఈ చివరి సరళీకృత ఫంక్షన్ (సమీకరణం) MSP రూపంలో ఉంది మరియు అమలు చేయడానికి దాని సంబంధిత SP ఫారమ్ కంటే తక్కువ సంఖ్యలో గేట్లు అవసరం. గుర్తుంచుకోండి: SP అంటే ఉత్పత్తుల మొత్తం అయితే MSP అంటే కనిష్ట ఉత్పత్తుల మొత్తం.

ఉదాహరణ 2.62:
కింది సర్క్యూట్ X, Y మరియు W ఇన్‌పుట్‌లను కలిగి ఉంటుంది మరియు Z అనేది అవుట్‌పుట్. Z కోసం సమ్ ఆఫ్ ప్రొడక్ట్స్ (SP) ఫంక్షన్‌ను (ఉత్పత్తుల పనితీరు యొక్క స్పష్టమైన మొత్తం) ఉత్పత్తి చేయండి. ఆపై, నిజమైన మరింత తగ్గించబడిన (కనిష్టీకరించిన) ఉత్పత్తుల మొత్తాన్ని (MSP) ఉత్పత్తి చేయండి. అప్పుడు, MSP సర్క్యూట్‌ను అమలు చేయండి (MSP గేటింగ్ నెట్‌వర్క్‌ను గీయండి).

ఫిగ్ 2.61 A గేటింగ్ సర్క్యూట్

పరిష్కారం:
సరళీకరణ ప్రక్రియ ప్రారంభమయ్యే ముందు, Z కోసం వ్యక్తీకరణ తప్పనిసరిగా X, Y మరియు W పరంగా పొందాలి. రేఖాచిత్రం నుండి ఈ ఉదాహరణ ఉదాహరణను చూడండి:

ఇది X, Y మరియు W పరంగా Z యొక్క వ్యక్తీకరణ. దీని తర్వాత, స్పష్టమైన MSPకి సరళీకరణ జరుగుతుంది. స్పష్టమైన MSP SP.

ఈ చివరి సమీకరణం (ఫంక్షన్) SP రూపంలో ఉంది. ఇది నిజం కాదు కనీస ఉత్పత్తుల మొత్తం (ఇంకా MSP లేదు). కాబట్టి, తగ్గింపు (కనిష్టీకరణ) కొనసాగించాలి.

ఈ చివరి సమీకరణం (ఫంక్షన్) నిజమైన కనిష్ట ఉత్పత్తుల మొత్తం (MSP). మరియు ఉత్పత్తుల యొక్క కనీస మొత్తం (నిజమైన కనిష్టీకరణ) గేటింగ్ సర్క్యూట్:

అత్తి 2.62 MSP గేటింగ్ సర్క్యూట్

వ్యాఖ్య
ఈ విభాగంలోని విశ్లేషణ నుండి, ఉత్పత్తుల మొత్తం అనేది ఉత్పత్తుల యొక్క కనిష్ట మొత్తమా కాదా అనేది స్పష్టంగా తెలియదని చూడవచ్చు. ఎస్పీ చాలా ఉపయోగకరంగా లేదు. ఇది చాలా ఉపయోగకరంగా ఉండే MSP. MSP పొందేందుకు ఒక హామీ మార్గం ఉంది; అది కర్నాఫ్ మ్యాప్‌ని ఉపయోగించడం. కర్నాఫ్ మ్యాప్ ఈ ఆన్‌లైన్ కెరీర్ కోర్సు పరిధికి మించినది.

2.7 సమస్యలు

తదుపరి అధ్యాయానికి వెళ్లే ముందు అన్ని సమస్యలను ఒక అధ్యాయంలో పరిష్కరించాలని పాఠకులకు సలహా ఇస్తారు.

1. AND, OR, మరియు NOT సత్య పట్టికలను వాటి సంబంధిత గేట్‌లతో ఉత్పత్తి చేయండి.
2. పది బూలియన్ పోస్టులేట్‌లను వాటి విభిన్న వర్గాలలో వ్రాసి, వర్గాలకు పేరు పెట్టండి.
3. వివరణ లేకుండా, బూలియన్ బీజగణితం యొక్క ఇరవై-ఆరు లక్షణాలను వాటి విభిన్న వర్గాలలో వ్రాసి, వర్గాలకు పేరు పెట్టండి.
4. బూలియన్ లక్షణాలను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని తగ్గించండి మరియు ఉపయోగించిన వర్గాలను కోట్ చేయండి.



5. బూలియన్ లక్షణాలను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని తగ్గించండి మరియు ఉపయోగించిన వర్గాలను కోట్ చేయండి.



6. బూలియన్ లక్షణాలను ఉపయోగించి మరియు ఉపయోగించిన వర్గాలను ఉటంకిస్తూ, కింది సమీకరణాన్ని తగ్గించండి - ముందుగా ఉత్పత్తుల మొత్తానికి ఆపై ఉత్పత్తుల యొక్క కనిష్ట మొత్తానికి:



7. బూలియన్ లక్షణాలను ఉపయోగించి మరియు ఉపయోగించిన వర్గాలను ఉటంకిస్తూ, కింది సమీకరణాన్ని తగ్గించండి - ముందుగా ఉత్పత్తుల మొత్తానికి ఆపై ఉత్పత్తుల యొక్క కనిష్ట మొత్తానికి: